システム制御のための数学〈2〉関数解析編(システム制御工学シリーズ〈8〉) [全集叢書]Ω

目次1．集合と関数の基礎概念1.1　距離空間　1.1.1　集合　1.1.2　距離空間の定義　1.1.3　距離空間の開集合と閉集合1.2　距離空間での連続関数1.3　完備距離空間・コンパクト集合　1.3.1　完備距離空間　1.3.2　コンパクト集合演習問題2．複素数と複素関数2.1　複素数と複素平面　2.1.1　複素数　2.1.2　複素平面2.2　複素関数　2.2.1　複素関数の微分　2.2.2　整級数　2.2.3　指数関数演習問題3．曲線と線積分3.1　線積分　3.1.1　曲線の定義　3.1.2　線積分の定義3.2　閉曲線の回転数とホモトピー　3.2.1　回転数　3.2.2　ホモトピー演習問題4．コーシーの定理と級数展開4.1　コーシーの定理4.2　コーシーの積分公式4.3　テイラー級数4.4　コーシーの定理のその他の帰結　4.4.1　リウヴィルの定理　4.4.2　モレラの定理演習問題5．ローラン級数と孤立特異点5.1　ローラン級数5.2　孤立特異点　5.2.1　除去可能特異点・極・真性特異点　5.2.2　有理形関数と有理関数5.3　留数の定理と偏角の原理　5.3.1　留数の定理　5.3.2　偏角の原理演習問題6．調和関数の基本性質6.1　コーシー・リーマンの条件6.2　調和関数とポアソン積分　6.2.1　調和関数の定義　6.2.2　ポアソン核　6.2.3　ポアソン積分公式　6.2.4　右半面での調和関数6.3　ポアソン積分公式からの帰結　6.3.1　最大値の原理　6.3.2　空間H1でのインナーアウター分解　6.3.3　ヒルベルト変換とボーデのゲイン位相関係　6.3.4　正則関数の零点とイェンセンの公式演習問題7．フーリエ級数・変換とラプラス変換7.1　フーリエ級数　7.1.1　定義　7.1.2　フーリエ係数の性質　7.1.3　フーリエ級数の収束性7.2　フーリエ変換　7.2.1　フーリエ変換の定義と基本性質　7.2.2　フーリエ逆変換　7.2.3　自乗可積分な空間のフーリエ変換7.3　ラプラス変換　7.3.1　ラプラス変換の定義と正則性　7.3.2　基本性質　7.3.3　ペーリー・ウィーナーの定理演習問題8．ヒルベルト空間8.1　ヒルベルト空間の定義　8.1.1　内積　8.1.2　ヒルベルト空間の例　8.1.3　部分空間8.2　直交性　8.2.1　閉部分空間内の最近点　8.2.2　直交補空間　8.2.3　正規直交基底8.3　ヒルベルト空間の線形汎関数　8.3.1　連続な線形汎関数　8.3.2　リースの定理演習問題9．ヒルベルト空間上の線形作用素9.1　有界な線形作用素　9.1.1　作用素のノルム　9.1.2　線形作用素の例9.2　共役作用素　9.2.1　共役作用素の定義　9.2.2　共役作用素の例　9.2.3　共役作用素の基本的性質9.3　射影作用素9.4　コンパクト作用素とスペクトル理論　9.4.1　コンパクト作用素の定義と基本性質　9.4.2　コンパクト作用素のスペクトル演習問題10．バナッハ空間10.1　バナッハ空間の定義　10.1.1　ノルム　10.1.2　バナッハ空間の例10.2　商空間10.3　双対空間（有界線形汎関数）　10.3.1　線形汎関数と双対空間　10.3.2　双対空間の例10.4　ハーン・バナッハの定理とその帰結　10.4.1　ハーン・バナッハの定理　10.4.2　第二双対空間　10.4.3　分離超平面10.5　弱位相　10.5.1　弱位相の定義　10.5.2　弱位相の基本的性質　10.5.3　零化空間　10.5.4　アラオグルの定理演習問題11．バナッハ空間上の線形作用素11.1　線形作用素　11.1.1　作用素のノルム　11.1.2　線形作用素の例11.2　開写像定理と一様有界性原理　11.2.1　開写像定理　11.2.2　閉グラフ定理　11.2.3　一様有界性原理11.3　双対作用素　11.3.1　双対作用素の定義　11.3.2　双対作用素の例　11.3.3　双対作用素の基本性質演習問題12．バナッハ環12.1　バナッハ環と具体例　12.1.1　定義　12.1.2　可逆性とイデアル　12.1.3　商環　12.1.4　スペクトルとレゾルベント集合12.2　可換なバナッハ環　12.2.1　乗法的線形汎関数　12.2.2　ゲルファント変換演習問題付録A．位相空間・順序集合A.1　位相空間　A.1.1　位相空間の定義　A.1.2　位相の強弱　A.1.3　近傍と閉包　A.1.4　開集合系の基A.2　位相空間での連続関数A.3　位相空間でのコンパクト集合A.4　順序集合演習問題付録B．関数空間Lpと畳み込みB.1　ルベーグ積分とLp空間B.2　畳み込み　B.2.1　畳み込みの定義　B.2.2　近似単位演習問題引用・参考文献演習問題の解答索引出版社からのコメントシステム制御を学ぶ人のために，複素関数や関数解析の基本をわかりやすく解説。内容紹介本書は，システム制御を研究あるいは学習する人のために複素関数や関数解析の基本を記述することを目的として，システム制御から派生する例題や演習問題をなるべく多く含め，以下の構成で解説した。まず1章では，以降の章を読むために必要な集合と関数の基礎概念を述べている。この章については初読時には概念をおおまかに理解することで差し支えない。さて，システム制御の分野には伝達関数をはじめとして複素関数を応用した結果が数多くある。2章では，複素数と複素関数を，3章では曲線と線積分を説明する。次に，正則関数は微分可能な実数関数とは大いに異なる性質をもっているが，コーシーの定理によって正則関数のさまざまな基本性質を説明することができる。4章では，コーシーの定理と級数展開について説明する。5章では，ローラン級数を用いて孤立特異点を分類し，その性質を明らかにする。特に極に関しては，留数という概念を用いて複素関数の閉曲線での線積分との関係を明らかにする。6章では，調和関数や正則関数のさまざまな性質をポアソン積分を用いて説明する。フーリエ級数・変換とラプラス変換は，特にシステム制御の分野では伝達関数などのシステム表現やゲイン解析や安定性解析などに用いられ，信号を時間領域と周波数領域という二つの領域から考えることによって理論および計算の双方から基本的な役割を果たしている。7章では，フーリエ級数・変換とラプラス変換の数学的な性質を中心に説明する。8章，9章では，制御システムの解析ならびに設計問題に広く利用されているヒルベルト空間，ヒルベルト空間上の線形作用素について説明する。さらに，システム制御において，ヒルベルト空間ではないバナッハ空間を用いることが自然な問題設定も多い。そこで10章，11章，12章ではバナッハ空間，バナッハ空間上の線形作用素，バナッハ環について説明する。8章から12章までは関数解析についてであり，大学院過程の講義や研究論文を理解するときに活用していただきたい。また，付録A では位相空間と順序集合について補足的に述べている。やや抽象性が高いが，10.5 節，12.2.2 項を読むときに参考にしてほしい。本文中随所に現れる畳み込みについては付録B で説明している。図書館選書システム制御を学ぶ人のために複素関数や関数解析の基本を解説。また，システム制御から派生する例題や演習問題をなるべく多く含め、定理の証明，例題や演習問題の解答についてはなるべく省略せずに記述した。著者紹介（「BOOK著者紹介情報」より）（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）太田 快人(オオタ ヨシト)１９８０年大阪大学工学部電子工学科卒業。１９８２年大阪大学大学院博士前期課程修了（電子工学専攻）。１９８３年大阪大学大学院博士後期課程中退。１９８３年大阪大学助手。１９８６年工学博士（大阪大学）。１９９１年大阪大学講師。１９９４年大阪大学助教授。１９９９年大阪大学教授。２００６年京都大学教授