測度の考え方 ～測り測られることの数学～（技術評論社） [電子書籍]Ω

「私たちは日常から長さや面積や体積を測っています。しかし，そもそも「測る」とはどういうことなのでしょうか。この「測る」ことを数学的に抽象化したものが測度です。本書では簡単な集合の解説から始めて，測れるもの，測ることができないものの性質を調べ，測度論とはいったい何をしているのかを易しく読み解いていきます。目次まえがき［第1部　測度論以前のこと］第1章　長さ，面積，体積の昔1.1　測るということ1.2　どんな形でも測れるのか？1.3　円の面積はなぜπr2 か1.4　アルキメデスのとりつくし法1.5　錐体の体積はなぜ柱体の1/3 か第2章　測り，測られることの数学的基礎1－集合2.1　始まりはいつも集合2.1.1　集合とはなにか？ －素朴な定義2.1.2　有限集合と無限集合2.1.3　無限集合の2つの種類2.2　「図形」を集合と見るには2.2.1　和集合と共通部分，「または」と「かつ」2.2.2　差集合と否定2.2.3　集合の分割と同値関係第3章　測り，測られることの数学的基礎2－実数と写像3.1　測る「量」としての実数3.1.1　実数の区間と無限大3.1.2　実数の実感3.1.3　実数の連続性について3.1.4　上極限と下極限3.2　写像3.2.1　写像の基本3.2.2　簡単な写像の知識̶ 全射，単射，全単射，逆写像など3.2.3　ちょっと高度な写像の知識̶ 像と逆像，制限と拡張など3.2.4　関数と連続性［第2部　具体から抽象へ－カラテオドリの条件のパズルとルベーグ測度］第4章　基本図形で覆って測る：外測度の考え方4.1　外測度の考え方4.1.1　1次元にも複雑な図形がある4.1.2　複雑な図形をどう測るべきか4.1.3　「長さゼロ」とは？4.1.4　区間[0, 1] の外測度は1か？4.2　外測度の性質4.2.1　他の種類の区間の外測度と単調性4.2.2　平行移動不変性と加法性4.2.3　劣加法性第5章　ルベーグ測度5.1　カラテオドリの条件とルベーグ可測集合5.1.1　加法性のパズル－ カラテオドリの条件5.1.2　カラテオドリの条件のパズル：条件の言い換え5.1.3　パズル2：基本的な図形が条件を満たすこと5.1.4　パズル3：集合演算が閉じていること5.1.5　パズル4：可算個の和集合が閉じていること5.2　ルベーグ測度5.2.1　ルベーグ外測度からルベーグ測度へ5.2.2　ルベーグ測度の性質5.2.3　外測度と測度の抽象化への道5.2.4　ルベーグ可測でない集合［第3部　抽象から具体へ－測り測られることの本質を抜き出す］第6章　定義で始める測度論6.1　測られるものたち（σ-加法族）と測るもの（測度）の定義6.1.1　σ-加法族の定義6.1.2　測度の定義6.2　σ-加法族の簡単な例6.2.1　有限集合上のσ-加法族6.2.2　一般の集合上のσ-加法族の簡単な例6.2.3　σ-加法族の大小関係6.3　測度の簡単な例6.3.1　自明な測度と有限集合上の測度6.3.2　有限分割を持つ集合上の測度6.3.3　ちょっと変わった測度（ディラック測度）第7章　そして定義から性質を導く7.1　σ-加法族の性質を定義から導く7.1.1　もっともやさしい性質の証明7.1.2　色々な集合演算についても閉じていること7.2　測度の性質を定義から導く7.2.1　有限加法性7.2.2　単調性と劣加法性7.2.3　連続性第8章　測度の構成という問題8.1　σ-加法族の構成8.1.1　集合族から生成されたσ-加法族8.1.2　σ-加法族より弱い集合族8.2　前測度から測度へ8.2.1　前測度の拡張としての測度8.2.2　拡張定理8.2.3　本質的な例：直線上の「長さ」とはなにか？8.2.4　ルベーグ測度の問題［第4部　積分を再発明する̶ ルベーグ積分の世界］第9章　ルベーグ積分9.1　リーマン積分からルベーグ積分へ9.1.1　積分の復習9.1.2　リーマン積分の弱点9.1.3　高さをコントロールする̶ ルベーグ積分のアイデア9.2　ルベーグ積分の構成9.2.1　可測関数9.2.2　単関数とその積分9.2.3　可測関数を単関数で近似する9.2.4　一般の積分9.2.5　ルベーグ積分の基本的な性質第10章　ルベーグ積分の御利益の色々10.1　収束定理の色々10.1.1　単調収束定理10.1.2　収束定理のヴァリエーション10.1.3　収束定理が適用できない例10.2　フビニの定理10.2.1　具体的に：2次元のルベーグ測度10.2.2　抽象的に：直積測度10.2.3　フビニの定理10.3　微分との関係10.3.1　積分と微分との交換10.3.2　微積分学の基本定理10.3.3　ルベーグ積分論における微分学10.3.4　最後に参考文献索引